Guido and the diesis

I'd like to open myself the discussion that Oliver Gerlach promised in the Low B-flat discussion. It refers to Guido of Arezzo's mention of the usage of the diesis in proper and inappropriate positions in the scale.

A first question that I have concerns the manuscripts that reproduce this mention, and their date. Guido's passage about this, reproduced in GS II, pp. 10-11, has been omitted in the CSM edition by Smits Van Waesberghe, and is missing also in the recent traductions of the Micrologus. Oliver himself mentions in his "Der Oktōīchos zwischen Mittelalter und heutiger Tradition" that this text nicht in allen Abschriften des Micrologus überliefert wird. I would be interested to know in which manuscripts this passage is copied, whether their date gives any clue as to why it is not included in all manuscripts, etc.

The fact is that there is, I think, some incoherence in this passage, as if it had been written by more than one person, and/or at more than one time. The text first says that the subductiones (by which I understand the "lowering of the note", producing the diesis) should happen only on the trito (by which I understand the third note of any tetrachord), i.e. F or C. Guido then adds that it (the subductio?) should not be done unless on "the third and sixth", which migh mean the third and sixth notes of a scale beginning on A (i.e. C and F). But a few line later he describes the inteval from G to a as corresponding to the string-length ratio 8:9 (i.e. 204 cents) and that from a to the note between b♮ and c as 6:7 (267 cents). In other words, Guido first appears to describe the diesis as a half-flattened F or C, then as a half-sharpened E or B♮.

I am both utterly interested and utterly puzzled by this, and I'd welcome any comment that anyone would make. What puzzles me is that in modern Arabic theory, as I think to understand it, the neutral second appears between D and F (divided by half flat E) or between A and C (with half flat B), while I fail to see the point of half flattening C or F (or, for that matter, of half sharpening B or E), which would not result in a neutral second, but in a "diminished semitone"...

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Replies

  • Cher Frédéric

    Je suis d'accord avec vous, les deux périodes citées par moi au début ne construisent rien d'autre que trois dièses ( dièse par l'octave, e dièse) et pas de tétracordes. Moi, je comprends que l'auteur a simplement cherché dont il avait besoin (ça veut dire pas les intervalles que vous avez déduits facilement).

    Si vous aimez les chaînes des quintes ascendantes et des quarts déscendants, je suis sûr que vous aimez aussi les contributions par Thomas Noll.

    Il faut être clair que cette construction était importante et prominente chez Guido, mais il n'était pas le premier. La découverte était déjà faite chez un contemporain près de lui, par Odo d'Arezzo.

    On pourraît même déduire une construction a dièse—e dièse— dièse (comme une chaine séparée), mais c'est comme chez vous une interprétation du texte et pas les trois dièses dont il avait parlé.

    Le fait qu'il manque du genre chromatique complètement, m'indique que le système grec avec la catégorie genre n'avait pas de rélévance sauf la dièse. C'est en fait la différence entre le chant latin et le chant grecque, malgré des pauvres efforts de démentir la présence de ces genres associés aux phthorai nana et nenano chez Wellesz et Tillyard.

  • Supposer, derrière la formulation de Metitur autem (au début : "Cum a G. ad finem ... primam diesim, inter . et c." ) l'existence d'un tétracorde sur G  (G a δ c) mérite examen.
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    1. Il faut tout d'abord constater, à l'analyse des divisions de monocorde, une certaine autonomie des instructions des procédures vis à vis des composantes structurelles des échelles de sons. Le Micrologus lui-même en donne l'exemple. Les deux procédures de division qu'il consigne au chapitre III font abstraction totale d'une organisation tétracordale de l'échelle, soit des tétracordes du système complet grec, soit de tétracordes TST :
    - la première construction est un triple cycle de quartes à partir des degrés Γ, A et B accordés en diton,
    - la seconde cherche à placer le maximum de degrés à partir d'une division en 9 parties de la longueur de corde donnant le Γ puis de la longueur de corde du A, puis en 4 parties des longueurs du Γ, du C et du F (ce qui réduit à 5 en tout le nombre d'étapes).
    Mais on trouve de façon tout à fait contemporaine du Micrologus des divisions qui, au contraire, s'appuyent sur l'organisation en tétracordes de l'échelle, par exemple :
    ADaaa construits en montant par une division en 4 parties de A,
    - puis eEB construits par des rapport 4/3 en descendant à partir de aaeaE respectivement,
    - enfin le reste construit par des tons 9/8 descendants (pour le genre diatonique)
    Une procédure de division du monocorde ne reflète donc pas forcément l'organisation tétracordale (hexacordale plus tard) de l'échelle construite. C'est ce que je voulais dire par une certaine autonomie. Cela peut bien être le cas de Metitur autem, au chapitre X du Micrologus.
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    2. En deuxième lieu on s'attendrait pour un tétracorde G a δ c dans Metitur autem à y trouver définie la position de c. Or ce n'est pas le cas, c n'apparaît que pour le nommage de la diesis ("...  primam diesim, inter . et c."). Il n'est pas construit dans Metitur autem, il y est supposé déjà positionné (à l'aide d'une des procédures du chapitre III par exemple).
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    3. Je n'ai pas l'impression que le chapitre VIII décrive en particulier un tétracorde sur G, je ne vois notamment pas de c comme "tetrardus". J'ai parcouru des versions accessibles dans TML. Mais le propos exact de ce chapitre m'échappe n'ayant pas de traduction française sous les yeux et je peux me tromper.
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    4. Ces considérations m'empêchent de voir le tétracorde sur G dans la formulation de Metitur autemPour moi, ce fragment construit trois diesis mais ne construit pas de tétracorde (ni n'en suppose sur G).
    4.a Ensuite, vu le placement précis de ces trois diesis, l'hypothèse "enharmonique" (pour faire court) m'a semblé depuis le début la plus probable. On peut relever dans l'Introduction du MM des petites erreurs (de calcul notamment) mais aussi d'autres plus importantes (par exemple dans les conséquences tirées de l'accord harmonique 5/4 de certaines tierces d'une division du XIe s. et surtout d'une certaine division du XIVe s. qui reste bien pythagoricienne !) mais pour ce qui nous occupe ici Chr. Meyer par son rattachement de ce texte aux méthodes de construction des degrés des genres chromatique et enharmonique me semble être dans le vrai.
    4.b Le placement "à la Archytas" de ces diesis "enharmoniques" ne doit pas faire oublier, comme le rappelle Oliver Gerlach, que celui-ci utilise pour la parhypate (en troisième position en partant de l'aigu du tétracorde) le même rapport aussi pour les divisions chromatique et diatonique. L'auteur de Metitur autem a pu trouver Archytas dans Boèce livre V et en reprendre la division enharmonique, on ne peut guère en dire plus.
  • On pourrait argumenter que ça suffisait d'aller directement de a re et divider le corde sept fois. En fait, il s'agît d'un pragmatisme de trouver l'interval par les procedures simples, mais il n'y a pas du tout dans la période suivante un tétracorde sur la dièse entre b-carré et c, mais seulement un quart, et ce n'est pas l'endroit où on construit un tétracorde, en fait le c et le b-carré n'existent pas dans ce paragraphe.

    Selon mon savoir vous avez raison que Guido est le seul théoricien qui avait mésuré la dièse, malgré de sa reservation contre usage du monochorde (une minimisation en fait). Boèce avait seulement référé les divisions qu'il avait connues par sa traduction des «harmonikai» de Ptolémée, mais la division, si on est prêt de faire toutes ces procedures comme Frédéric ou Christian (évidemment pas chez Guido), n'existait pas entre eux.

    Le fait que Guido ne les faisait pas, c'est simplement qu'il n'avait aucune besoin de se servir ces autres intervalles, parce qu'ils n'ont aucune rélévance concernant la pratique du chant. Il était différent, s'il y aura les changements entre les genres (μεταβολαὶ κατὰ γένος) dans le chant latin, mais ça n'existait pas dans le chant. Le chant latin avait aucune motivation de se servir de la catégorie "genre" (τὸ γένος), parce que ces changements n'existaient pas, mais l'intervalle de la dièse comme une augmentation du tonus 7:6 (ou la diminution du semitonium 65:64) bien sur que oui. On n'avait aucune de besoin de la division chromatique, parce que la position du démi-ton ne changeait pas.

    C'est très intéressant parce qu'on comprend facilement la rélévance de la science harmonikai comme un moyen de la transmission de chant ici, la rélévance pratique qui n'est pas si explicite dans les manuels du chant grecque, mais bien sur un chantre ou psalte grecque avait se servir du genre et des changements entre eux (les efforts de les démentir chez Tillyard et Wellesz, pas Strunk!, ont simplement prouvé le contraire). À Paris on n'avait connu aucun changement entre les genres, mais ça avait changé pendant le XIII siècle grace à la pratique de chanter en organum.

  • Metitur autem hoc modo. Cum a G. ad finem feceris novem passus, reperisque a. tunc ab a. ad finem partire per septem, et in termino primae partis reperies primam diesim, inter. et c.

    «Il se mesure comme suit. Après avoir fait neuf divisions depuis G jusqu'à la fin, on a trouvé a ; ensuite on divise de a jusqu'à la fin en sept et à la fin de la première partie on trouve le premier diesis, entre ♮ et c.»

    On peut calculer ceci comme on veut, et Meyer peut en dire ce qu'il veut, mais il me semble bien que c'est un tétracorde qui s'étend de G à c.

  • Il n'y a pas de "tétracorde sur SOL" ni de "tétracorde G a δ c" dans Metitur autem. Le tétracorde est ♮-?-?-e (tétracorde diezeugmenon, qui est ♮-c-d-e dans le genre diatonique).

    Le degré "première diesis, entre ♮ et c" (cf. texte Metitur autem) se retrouve à 27/28 au dessus de ♮ (voir les calculs plus haut et les valeurs données par Chr. Meyer) mais il est construit dans Metitur autem à l'aide d'un rapport 6/7 à partir de a, lui-même placé à 8/9 de G (cf. le texte). C'est simplement une construction qui s'appuie sur G, ou plus précisément sur a pour la première diesis (et d pour la deuxième) grâce à un rapport 6/7.

    Raisonnement analogue pour la "deuxième [diesis], (...) entre e et f" qui appartient au tétracorde e-?-?-aa (tétracorde hyperbolaion, e-f-g-aa dans le genre diatonique).

    Les deux diesis ainsi construites (la troisième est au registre supérieur, hors système tétracordal) se retrouvent bien en "position enharmonique" de deux tétracordes du système complet grec. C'est sans aucun doute ce qui a conduit Chr. Meyer à rattacher Metitur autem aux "divisions dans les genres chromatique et enharmonique".

    à Oliver Gerlach : il n'y a pas de division chromatique ici en effet. C'est un peu ce qu'on relève en parcourant les 13 mesures que Chr. Meyer classe dans le sous-titre "Les divisions dans les genres chromatique et enharmonique" : elles sont souvent partielles, voire fragmentaires, par rapport à la construction exhaustive qu'on trouve par exemple chez Boèce.

  • La construction du tétracorde G a δ c dans Metitur autem me laisse encore toujours perplexe. Il ne s'agit pas du tétracorde enharmonique tel qu'il est décrit par Boèce et les autres texte cités par Meyer. L'intervalle 6:7 (a δ) mesure cinq quarts de ton (ou, plus précisément, huit sixièmes de ton). Pourquoi ce texte est-il le seul à décrire un intervalle de ce genre? Quelle était son intention?

  • Cher Frédéric

    Merci pour cette discussion dans ce illustre cercle.

    Je n'ai aucune doute que la théorie grecque (les harmonikai) avec les trois genres représentés par le diagramme boécien étaient une référence importante jusqu'à la Renaissance dans les traités de Zarlino et de Bottrigari. Il y avait même les compositeurs comme Vincenzo Galilei qui avaient expérimenter ces genres dans la composition du contrepoint (dans le Madrigal).

    J'ai seulement écrit comme déjà Nancy Phillips, et récemment Leo Lausberg dans ce réseau, que la pratique du chant liturgique avait connu quelques alternations des dégrés modales analogues aux «kinoumenoi» (les dégrés mobiles) dans le genre diatonique (on utilise la dièse enharmonique comme alternation du MI sur E, a, et b-carré).

    La seule exception est Jérôme de Moravie qui décrivait l'usage d'un tétrachorde avec la division «semitonium, trihemitonon, diesis» comme une «mélange entre le genre enharmonique et chromatique» chez le chantres gallois, mais seulement dans le «mode d'organum».

    Il y avait cette imagination que on utilise le genre chromatique avec deux démi-tons dans le tétrachorde, mais il faut vérifier toutes les proportions comme vous avez faites concernant la division enharmonique. En fait, votre pétit passage dans le «Micrologus» n'occupe pas trop de ce genre, mais de la pratique du chant où on avait utilisé la dièse parfois dans l'oktôéchos diatonique (en correspondence de la notation des lettres chez Guillaume de Volpiano à Saint Bénigne de Dijon et durant ses fondations en Normandie).

    Mais, je ne connais pas de division chromatique chez aucune copie de «Micrologus», certainement pas dans un tétrachorde sur SOL. Quel argument dois-je suivre ? Dans lequel manuscrit Mr. Meyer a trouvé cette variante ?

  • Voici deux extraits du Mensura Monochordi de Chr. Meyer que l'on peut joindre à la discussion.

    Tout d'abord ce court résumé qui vient conclure la présentation des deux procédés de division du De institutione musica de Boèce :

    p. XXIX
    "La double octave (A-aa) structurée en quatre ou cinq tétracordes demeure jusqu'au début du XIe siècle au moins - et parfois bien au-delà - le cadre acoustique dans lequel se développent les mesures de monocorde. Cet ambitus sera élargi par l'adjonction d'un degré au grave (Γ). Le Dialogus de Musica, rédigé autour de l'an Mil, en est l'un des premiers témoins datables. Cette échelle sera également presque aussitôt augmentée à l'aigu de deux ou trois degrés (hh cc dd) dont le Micrologus de Guy d'Arezzo offre vers 1025/26 le premier témoignage."

    Ensuite, une analyse de Metitur autem, qui nous occupe, placée dans un sous-titre "Les divisions dans les genres chromatique et enharmonique" :

    p. XXXV
    "Par ailleurs, la mesure Metitur autem (éd. p. 235) transmise par certaines sources à partir de la fin du XIe siècle en appendice au chapitre X du Micrologus de Guy d'Arezzo, propose une construction originale de deux diesis entre h-c et e-f respectivement à partir de a ou de d selon un rapport de 6/7e. Cette construction partage ainsi le limma pythagoricien (243/256) en deux intervalles de 27/28 (h-hδ) et 63/64 (hδ-c) :
    (suit un schéma donnant les rapports de h, hδ et c à partir de a ainsi que les rapports des intervalles h-hδ, hδ-c et h-c)
    Ces valeurs s'écartent considérablement de celles que l'on obtient en adoptant la construction rapportée par Boèce puisque cette diesis partage le limma pythagoricien (243/256) en deux intervalles dont le plus grand (27/28) est légèrement supérieur au tiers d'un ton pythagoricien. En revanche, le plus petit (63/64) se situe entre un septième et un huitième de ton pythagoricien."

    Le texte de la division Metitur autem est page 235 :

    p. 235
    "Metitur autem hoc modo (... je coupe ...)
    inter .e. et .f. secundus inter .hh. et .cc., reliqui vacant."
    Guido Aretinus, Micrologus (addendum ad capitulum X).
    Guidonis Aretini Micrologus, éd. J. Smits van Waesberghe, Roma, 1961.


    Mes notes et commentaires :
    • la vision tétracordale de l'échelle des sons (en quatre tétracordes ou cinq si l'on inclut le t. synemmenon) et en particulier la division dans les trois genres diatonique, chromatique et enharmonique est encore "présente à l'esprit" à l'époque de Guido. Les 13 divisions citées dans le sous-titre des "divisions dans les genres chromatique et enharmonique" sont dans des manuscrits datés entre déb. XIe et déb. XIIe s. Un manuscrit daté du XVe s. fait exception.
    • on voit que Christian Meyer rattache la mesure Metitur autem aux méthodes de construction des degrés des genres chromatique et enharmonique. C'est aussi ce qui m'était venu à l'esprit en premier en lisant vos échanges. Cela me paraît une hypothèse pertinente (et la plus économe). Mais il est très intéressant de l'interroger comme vous le faites, en effet Metitur autem fait un peu figure d'exception dans ce groupe et je reste persuadé que ce rapport 6/7 à partir de a et d pourrait avoir d'autres raisons d'être.
    • parmi les 13 mesures du sous-titre des "divisions dans les genres chromatique et enharmonique"une seule est "complète" (chromatique et enharmonique en plus du diatonique, et pour les cinq tétracordes), les autres sont partielles (voire fragmentaires comme on pourrait le dire de Metitur autem).
    • ces 13 mesures reprennent en majorité la construction de Boèce. Deux s'en écartent dont Metitur autem qui propose un placement particulier du degré spécifique au g. enharmonique si on accepte cette analyse. L'autre, celle qui est datée du XVe s, a un placement particulier du degré spécifique au g. chromatique (placement qui pourrait même être analysé comme une erreur (?) de son auteur).
    • l'intervalle musical 27/28 est légèrement inférieur au tiers d'un ton pythagoricien (et non pas supérieur).
    • dans le texte de Chr. Meyer, h note le b-carré (ou ♮) et δ la diesis, employée ici comme une altération.

  • Cher Nicolas

    Merci pour l'autre extrait de Guido.  Maintenant je comprends mieux que vous avez référé parlant des tetrachordes grecques.  C'est évident que Guido était familiare avec la pratique byzantine du solfège où on avait utilisé les échémata des kyrioi échoi pour monter.  Comme ça, protus etc. veut simplement dire les éléments du tetrachorde mémorisé par les échémata de l'octôéchos.  Il ne parle pas des tetrachorde du système teleion selon les « harmonikai », mais d'un système tetraphonique (comme ceux Dasiane).  Ça explique peut-être aussi les polémiques de cet auteur contre ce système...

    C'est pour cela que je préfère rester avec ses hexachordes, parce sa définition des dièses sur le monochorde ne fonctionne pas dans un système tetraphonique.  Mais en fait, c'est la seule inconsistance qui vient de la dernière passage cité par vous.

    En tout cas, c'est fort intéressant !

    Cher Frédéric

    Franchement et avec tout respect vers Helmholtz, je n'aime pas trop ce discours sur la tierce neutre pour glorifier la culture occidentale comme haut et diffamer celle orientale comme primitive (la reception de l'Est chez l'Ouest et toujours cette direction est trop évidente).  J'avais simplement parlé d'une distance égale (équidistance) entre ton médiale et ton mineure, après la division par un tonus (le ton majeur).  Ça veut dire, je ne m'occupes pas du tout de la distance entre 5:4 et 6:5, mais simplement de la distance entre RE et FA, si vous voudriez la division presque égale de la distance de 294'.

    Et vous avez raison chez Al-Farabi, le tonus se fait par la cas de l'index, et la cas de Zalzal par l'annulaire  sur la touche de l'oud, et le quart par la corde prochaine (plus haut).

    Le système occidentale et ses palindromes était décrit récemment par un ami Thomas Noll qui est mathématicien :

    Die Vernunft in der Tradition : Neue mathematische Untersuchungen zu den alten Begriffen der Diatonizität (2015)

    https://www.researchgate.net/publication/276355822

    Dialogue concerning the three chief tone systems : The diatonic, the triadic and the chromatic (2006)

    https://www.researchgate.net/publication/215646632

    D'abord il faut comprendre que tout est possible dans les « harmonikai » grecques où tous les intervalles se construisent dans le système teleion, au moins le sujet principale chez Ptolémée et chez Boèce.

    Bien sûr nous parlons du diagramme boécien et les divisions des tetrachordes dans les genres diatonique, chromatique et enharmonique.  La terminologie dit tonus et semitonium sera la division diatonique (la division chez Eratosthène), mais la tierce mineure et deux demi-tons règne le genre chromatique, et la tierce majeure et deux dièses le genre enharmonique.

    En fait, c'était Eratosthène qui aimaint la division égale de la distance, la distance (10:9) entre la tierce mineur (6:5) et le quart était divisée par 19:18 et 20:19 comme hémitona (genre chromatique), et la tierce majeur avait la proportion 19:15 pour arranger une autre division presque égale par deux dièses 39:38 et 40:39.

    Qui aiment les tierces pures, pourrait favoriser les divisions de Didymos :

    diatonique :       9:8 x 10:9 x 16:15

    chromatique :    6:5 x 25:24 x 16:15

    enharmonique : 5:4 x 31:30 x 32:31

    Archytas avait favorisé l'interval de 28:27 :

    diatonique :       9:8 x 8:7 x 28:27

    chromatique :    32:27 x 243:224 x 28:27

    enharmonique : 5:4 x 36:35 x 28:27

    Ça veut dire, la proportion 28:27 ne suffit pas pour établir le genre enharmonique !

    Mais Guido en fait préférait le tonus et le ditonus et la division inégale du demi-ton :

    diatonique (sans attraction) :            9:8 x 9:8 x 256:243

    diatonique (UT-FA avec la dièse) :   9:8 x 7:6 x 65:64

    enharmonique :                                81:64 x 65:64 x 28:27

    La division du tetrachorde grecque se fait par l'inversion, mais l'attraction dans le genre diatonique chez Guido monte, bien sur  !  Il n'offre aucune division chromatique, parce qu'elle n'était pas rélévante au chant.

    À la fin, il n'y a aucune motivation de jeter le bébé avec l’eau du bain...

  • Il y a une erreur dans mon raisonnement. La mesure 6:7 (267 cents) ne fait en effet pas une tierce neutre (environ 350 cents) ni une seconde neutre (environ 150 cents), mais une valeur intermédiaire entre le ton et la tierce mineure. Comment qu'on fasse le calcul, on a donc un «quart de ton»,

    soit (en cents):

    G=0 A=204 δ=471 C=498, avec A-δ = 267 et δ-C = 27 cents

    soit

    G=0 A=204 δ=267 C=498 avec A-δ = 63 cents et δ-C = 231 cents

    Je donne ma langue au chat...

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