I'd like to open myself the discussion that Oliver Gerlach promised in the Low B-flat discussion. It refers to Guido of Arezzo's mention of the usage of the diesis in proper and inappropriate positions in the scale.
A first question that I have concerns the manuscripts that reproduce this mention, and their date. Guido's passage about this, reproduced in GS II, pp. 10-11, has been omitted in the CSM edition by Smits Van Waesberghe, and is missing also in the recent traductions of the Micrologus. Oliver himself mentions in his "Der Oktōīchos zwischen Mittelalter und heutiger Tradition" that this text nicht in allen Abschriften des Micrologus überliefert wird. I would be interested to know in which manuscripts this passage is copied, whether their date gives any clue as to why it is not included in all manuscripts, etc.
The fact is that there is, I think, some incoherence in this passage, as if it had been written by more than one person, and/or at more than one time. The text first says that the subductiones (by which I understand the "lowering of the note", producing the diesis) should happen only on the trito (by which I understand the third note of any tetrachord), i.e. F or C. Guido then adds that it (the subductio?) should not be done unless on "the third and sixth", which migh mean the third and sixth notes of a scale beginning on A (i.e. C and F). But a few line later he describes the inteval from G to a as corresponding to the string-length ratio 8:9 (i.e. 204 cents) and that from a to the note between b♮ and c as 6:7 (267 cents). In other words, Guido first appears to describe the diesis as a half-flattened F or C, then as a half-sharpened E or B♮.
I am both utterly interested and utterly puzzled by this, and I'd welcome any comment that anyone would make. What puzzles me is that in modern Arabic theory, as I think to understand it, the neutral second appears between D and F (divided by half flat E) or between A and C (with half flat B), while I fail to see the point of half flattening C or F (or, for that matter, of half sharpening B or E), which would not result in a neutral second, but in a "diminished semitone"...
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Cher Frédéric
Je suis d'accord avec vous, les deux périodes citées par moi au début ne construisent rien d'autre que trois dièses (♮ dièse par l'octave, e dièse) et pas de tétracordes. Moi, je comprends que l'auteur a simplement cherché dont il avait besoin (ça veut dire pas les intervalles que vous avez déduits facilement).
Si vous aimez les chaînes des quintes ascendantes et des quarts déscendants, je suis sûr que vous aimez aussi les contributions par Thomas Noll.
Il faut être clair que cette construction était importante et prominente chez Guido, mais il n'était pas le premier. La découverte était déjà faite chez un contemporain près de lui, par Odo d'Arezzo.
On pourraît même déduire une construction a dièse—e dièse—♮ dièse (comme une chaine séparée), mais c'est comme chez vous une interprétation du texte et pas les trois dièses dont il avait parlé.
Le fait qu'il manque du genre chromatique complètement, m'indique que le système grec avec la catégorie genre n'avait pas de rélévance sauf la dièse. C'est en fait la différence entre le chant latin et le chant grecque, malgré des pauvres efforts de démentir la présence de ces genres associés aux phthorai nana et nenano chez Wellesz et Tillyard.
On pourrait argumenter que ça suffisait d'aller directement de a re et divider le corde sept fois. En fait, il s'agît d'un pragmatisme de trouver l'interval par les procedures simples, mais il n'y a pas du tout dans la période suivante un tétracorde sur la dièse entre b-carré et c, mais seulement un quart, et ce n'est pas l'endroit où on construit un tétracorde, en fait le c et le b-carré n'existent pas dans ce paragraphe.
Selon mon savoir vous avez raison que Guido est le seul théoricien qui avait mésuré la dièse, malgré de sa reservation contre usage du monochorde (une minimisation en fait). Boèce avait seulement référé les divisions qu'il avait connues par sa traduction des «harmonikai» de Ptolémée, mais la division, si on est prêt de faire toutes ces procedures comme Frédéric ou Christian (évidemment pas chez Guido), n'existait pas entre eux.
Le fait que Guido ne les faisait pas, c'est simplement qu'il n'avait aucune besoin de se servir ces autres intervalles, parce qu'ils n'ont aucune rélévance concernant la pratique du chant. Il était différent, s'il y aura les changements entre les genres (μεταβολαὶ κατὰ γένος) dans le chant latin, mais ça n'existait pas dans le chant. Le chant latin avait aucune motivation de se servir de la catégorie "genre" (τὸ γένος), parce que ces changements n'existaient pas, mais l'intervalle de la dièse comme une augmentation du tonus 7:6 (ou la diminution du semitonium 65:64) bien sur que oui. On n'avait aucune de besoin de la division chromatique, parce que la position du démi-ton ne changeait pas.
C'est très intéressant parce qu'on comprend facilement la rélévance de la science harmonikai comme un moyen de la transmission de chant ici, la rélévance pratique qui n'est pas si explicite dans les manuels du chant grecque, mais bien sur un chantre ou psalte grecque avait se servir du genre et des changements entre eux (les efforts de les démentir chez Tillyard et Wellesz, pas Strunk!, ont simplement prouvé le contraire). À Paris on n'avait connu aucun changement entre les genres, mais ça avait changé pendant le XIII siècle grace à la pratique de chanter en organum.
Metitur autem hoc modo. Cum a G. ad finem feceris novem passus, reperisque a. tunc ab a. ad finem partire per septem, et in termino primae partis reperies primam diesim, inter ♮. et c.
«Il se mesure comme suit. Après avoir fait neuf divisions depuis G jusqu'à la fin, on a trouvé a ; ensuite on divise de a jusqu'à la fin en sept et à la fin de la première partie on trouve le premier diesis, entre ♮ et c.»
On peut calculer ceci comme on veut, et Meyer peut en dire ce qu'il veut, mais il me semble bien que c'est un tétracorde qui s'étend de G à c.
Il n'y a pas de "tétracorde sur SOL" ni de "tétracorde G a δ c" dans Metitur autem. Le tétracorde est ♮-?-?-e (tétracorde diezeugmenon, qui est ♮-c-d-e dans le genre diatonique).
Le degré "première diesis, entre ♮ et c" (cf. texte Metitur autem) se retrouve à 27/28 au dessus de ♮ (voir les calculs plus haut et les valeurs données par Chr. Meyer) mais il est construit dans Metitur autem à l'aide d'un rapport 6/7 à partir de a, lui-même placé à 8/9 de G (cf. le texte). C'est simplement une construction qui s'appuie sur G, ou plus précisément sur a pour la première diesis (et d pour la deuxième) grâce à un rapport 6/7.
Raisonnement analogue pour la "deuxième [diesis], (...) entre e et f" qui appartient au tétracorde e-?-?-aa (tétracorde hyperbolaion, e-f-g-aa dans le genre diatonique).
Les deux diesis ainsi construites (la troisième est au registre supérieur, hors système tétracordal) se retrouvent bien en "position enharmonique" de deux tétracordes du système complet grec. C'est sans aucun doute ce qui a conduit Chr. Meyer à rattacher Metitur autem aux "divisions dans les genres chromatique et enharmonique".
à Oliver Gerlach : il n'y a pas de division chromatique ici en effet. C'est un peu ce qu'on relève en parcourant les 13 mesures que Chr. Meyer classe dans le sous-titre "Les divisions dans les genres chromatique et enharmonique" : elles sont souvent partielles, voire fragmentaires, par rapport à la construction exhaustive qu'on trouve par exemple chez Boèce.
La construction du tétracorde G a δ c dans Metitur autem me laisse encore toujours perplexe. Il ne s'agit pas du tétracorde enharmonique tel qu'il est décrit par Boèce et les autres texte cités par Meyer. L'intervalle 6:7 (a δ) mesure cinq quarts de ton (ou, plus précisément, huit sixièmes de ton). Pourquoi ce texte est-il le seul à décrire un intervalle de ce genre? Quelle était son intention?
Cher Frédéric
Merci pour cette discussion dans ce illustre cercle.
Je n'ai aucune doute que la théorie grecque (les harmonikai) avec les trois genres représentés par le diagramme boécien étaient une référence importante jusqu'à la Renaissance dans les traités de Zarlino et de Bottrigari. Il y avait même les compositeurs comme Vincenzo Galilei qui avaient expérimenter ces genres dans la composition du contrepoint (dans le Madrigal).
J'ai seulement écrit comme déjà Nancy Phillips, et récemment Leo Lausberg dans ce réseau, que la pratique du chant liturgique avait connu quelques alternations des dégrés modales analogues aux «kinoumenoi» (les dégrés mobiles) dans le genre diatonique (on utilise la dièse enharmonique comme alternation du MI sur E, a, et b-carré).
La seule exception est Jérôme de Moravie qui décrivait l'usage d'un tétrachorde avec la division «semitonium, trihemitonon, diesis» comme une «mélange entre le genre enharmonique et chromatique» chez le chantres gallois, mais seulement dans le «mode d'organum».
Il y avait cette imagination que on utilise le genre chromatique avec deux démi-tons dans le tétrachorde, mais il faut vérifier toutes les proportions comme vous avez faites concernant la division enharmonique. En fait, votre pétit passage dans le «Micrologus» n'occupe pas trop de ce genre, mais de la pratique du chant où on avait utilisé la dièse parfois dans l'oktôéchos diatonique (en correspondence de la notation des lettres chez Guillaume de Volpiano à Saint Bénigne de Dijon et durant ses fondations en Normandie).
Mais, je ne connais pas de division chromatique chez aucune copie de «Micrologus», certainement pas dans un tétrachorde sur SOL. Quel argument dois-je suivre ? Dans lequel manuscrit Mr. Meyer a trouvé cette variante ?
Tout d'abord ce court résumé qui vient conclure la présentation des deux procédés de division du De institutione musica de Boèce :
p. XXIX
"La double octave (A-aa) structurée en quatre ou cinq tétracordes demeure jusqu'au début du XIe siècle au moins - et parfois bien au-delà - le cadre acoustique dans lequel se développent les mesures de monocorde. Cet ambitus sera élargi par l'adjonction d'un degré au grave (Γ). Le Dialogus de Musica, rédigé autour de l'an Mil, en est l'un des premiers témoins datables. Cette échelle sera également presque aussitôt augmentée à l'aigu de deux ou trois degrés (hh cc dd) dont le Micrologus de Guy d'Arezzo offre vers 1025/26 le premier témoignage."
Ensuite, une analyse de Metitur autem, qui nous occupe, placée dans un sous-titre "Les divisions dans les genres chromatique et enharmonique" :
p. XXXV
"Par ailleurs, la mesure Metitur autem (éd. p. 235) transmise par certaines sources à partir de la fin du XIe siècle en appendice au chapitre X du Micrologus de Guy d'Arezzo, propose une construction originale de deux diesis entre h-c et e-f respectivement à partir de a ou de d selon un rapport de 6/7e. Cette construction partage ainsi le limma pythagoricien (243/256) en deux intervalles de 27/28 (h-hδ) et 63/64 (hδ-c) :
(suit un schéma donnant les rapports de h, hδ et c à partir de a ainsi que les rapports des intervalles h-hδ, hδ-c et h-c)
Ces valeurs s'écartent considérablement de celles que l'on obtient en adoptant la construction rapportée par Boèce puisque cette diesis partage le limma pythagoricien (243/256) en deux intervalles dont le plus grand (27/28) est légèrement supérieur au tiers d'un ton pythagoricien. En revanche, le plus petit (63/64) se situe entre un septième et un huitième de ton pythagoricien."
Le texte de la division Metitur autem est page 235 :
p. 235
"Metitur autem hoc modo (... je coupe ...)
inter .e. et .f. secundus inter .hh. et .cc., reliqui vacant."
Guido Aretinus, Micrologus (addendum ad capitulum X).
Guidonis Aretini Micrologus, éd. J. Smits van Waesberghe, Roma, 1961.
Mes notes et commentaires :
Cher Nicolas
Merci pour l'autre extrait de Guido. Maintenant je comprends mieux que vous avez référé parlant des tetrachordes grecques. C'est évident que Guido était familiare avec la pratique byzantine du solfège où on avait utilisé les échémata des kyrioi échoi pour monter. Comme ça, protus etc. veut simplement dire les éléments du tetrachorde mémorisé par les échémata de l'octôéchos. Il ne parle pas des tetrachorde du système teleion selon les « harmonikai », mais d'un système tetraphonique (comme ceux Dasiane). Ça explique peut-être aussi les polémiques de cet auteur contre ce système...
C'est pour cela que je préfère rester avec ses hexachordes, parce sa définition des dièses sur le monochorde ne fonctionne pas dans un système tetraphonique. Mais en fait, c'est la seule inconsistance qui vient de la dernière passage cité par vous.
En tout cas, c'est fort intéressant !
Cher Frédéric
Franchement et avec tout respect vers Helmholtz, je n'aime pas trop ce discours sur la tierce neutre pour glorifier la culture occidentale comme haut et diffamer celle orientale comme primitive (la reception de l'Est chez l'Ouest et toujours cette direction est trop évidente). J'avais simplement parlé d'une distance égale (équidistance) entre ton médiale et ton mineure, après la division par un tonus (le ton majeur). Ça veut dire, je ne m'occupes pas du tout de la distance entre 5:4 et 6:5, mais simplement de la distance entre RE et FA, si vous voudriez la division presque égale de la distance de 294'.
Et vous avez raison chez Al-Farabi, le tonus se fait par la cas de l'index, et la cas de Zalzal par l'annulaire sur la touche de l'oud, et le quart par la corde prochaine (plus haut).
Le système occidentale et ses palindromes était décrit récemment par un ami Thomas Noll qui est mathématicien :
Die Vernunft in der Tradition : Neue mathematische Untersuchungen zu den alten Begriffen der Diatonizität (2015)
https://www.researchgate.net/publication/276355822
Dialogue concerning the three chief tone systems : The diatonic, the triadic and the chromatic (2006)
https://www.researchgate.net/publication/215646632
D'abord il faut comprendre que tout est possible dans les « harmonikai » grecques où tous les intervalles se construisent dans le système teleion, au moins le sujet principale chez Ptolémée et chez Boèce.
Bien sûr nous parlons du diagramme boécien et les divisions des tetrachordes dans les genres diatonique, chromatique et enharmonique. La terminologie dit tonus et semitonium sera la division diatonique (la division chez Eratosthène), mais la tierce mineure et deux demi-tons règne le genre chromatique, et la tierce majeure et deux dièses le genre enharmonique.
En fait, c'était Eratosthène qui aimaint la division égale de la distance, la distance (10:9) entre la tierce mineur (6:5) et le quart était divisée par 19:18 et 20:19 comme hémitona (genre chromatique), et la tierce majeur avait la proportion 19:15 pour arranger une autre division presque égale par deux dièses 39:38 et 40:39.
Qui aiment les tierces pures, pourrait favoriser les divisions de Didymos :
diatonique : 9:8 x 10:9 x 16:15
chromatique : 6:5 x 25:24 x 16:15
enharmonique : 5:4 x 31:30 x 32:31
Archytas avait favorisé l'interval de 28:27 :
diatonique : 9:8 x 8:7 x 28:27
chromatique : 32:27 x 243:224 x 28:27
enharmonique : 5:4 x 36:35 x 28:27
Ça veut dire, la proportion 28:27 ne suffit pas pour établir le genre enharmonique !
Mais Guido en fait préférait le tonus et le ditonus et la division inégale du demi-ton :
diatonique (sans attraction) : 9:8 x 9:8 x 256:243
diatonique (UT-FA avec la dièse) : 9:8 x 7:6 x 65:64
enharmonique : 81:64 x 65:64 x 28:27
La division du tetrachorde grecque se fait par l'inversion, mais l'attraction dans le genre diatonique chez Guido monte, bien sur ! Il n'offre aucune division chromatique, parce qu'elle n'était pas rélévante au chant.
À la fin, il n'y a aucune motivation de jeter le bébé avec l’eau du bain...
Il y a une erreur dans mon raisonnement. La mesure 6:7 (267 cents) ne fait en effet pas une tierce neutre (environ 350 cents) ni une seconde neutre (environ 150 cents), mais une valeur intermédiaire entre le ton et la tierce mineure. Comment qu'on fasse le calcul, on a donc un «quart de ton»,
soit (en cents):
G=0 A=204 δ=471 C=498, avec A-δ = 267 et δ-C = 27 cents
soit
G=0 A=204 δ=267 C=498 avec A-δ = 63 cents et δ-C = 231 cents
Je donne ma langue au chat...
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