I'd like to open myself the discussion that Oliver Gerlach promised in the Low B-flat discussion. It refers to Guido of Arezzo's mention of the usage of the diesis in proper and inappropriate positions in the scale.
A first question that I have concerns the manuscripts that reproduce this mention, and their date. Guido's passage about this, reproduced in GS II, pp. 10-11, has been omitted in the CSM edition by Smits Van Waesberghe, and is missing also in the recent traductions of the Micrologus. Oliver himself mentions in his "Der Oktōīchos zwischen Mittelalter und heutiger Tradition" that this text nicht in allen Abschriften des Micrologus überliefert wird. I would be interested to know in which manuscripts this passage is copied, whether their date gives any clue as to why it is not included in all manuscripts, etc.
The fact is that there is, I think, some incoherence in this passage, as if it had been written by more than one person, and/or at more than one time. The text first says that the subductiones (by which I understand the "lowering of the note", producing the diesis) should happen only on the trito (by which I understand the third note of any tetrachord), i.e. F or C. Guido then adds that it (the subductio?) should not be done unless on "the third and sixth", which migh mean the third and sixth notes of a scale beginning on A (i.e. C and F). But a few line later he describes the inteval from G to a as corresponding to the string-length ratio 8:9 (i.e. 204 cents) and that from a to the note between b♮ and c as 6:7 (267 cents). In other words, Guido first appears to describe the diesis as a half-flattened F or C, then as a half-sharpened E or B♮.
I am both utterly interested and utterly puzzled by this, and I'd welcome any comment that anyone would make. What puzzles me is that in modern Arabic theory, as I think to understand it, the neutral second appears between D and F (divided by half flat E) or between A and C (with half flat B), while I fail to see the point of half flattening C or F (or, for that matter, of half sharpening B or E), which would not result in a neutral second, but in a "diminished semitone"...
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Je reprends en français, pour résumer mon point de vue sur cette question. Relisons ce que Guido (ou qui que ce soit), disons ce que «le texte» écrit:
C'est-à-dire: «Donc ce diesis qui, comme nous l'avons dit ci-dessus, prend la place du demi-ton, ne devrait jamais être utilisé sinon dans le cas suivant: lorsque l'on chante le tritus et le tetradus et qu'on continue vers le protus, puis revenant à la même [note] ou même au même tritus, ou plus bas encore.»
Ce que ceci signifie dépend de ce que Guido veut dire par «tritus», «tetrardus» et «protus». Le sens se déduit du Chapitre VIII où ces termes désignent les degrés numérotés des tétracordes, plus précisément les tétracordes médiévaux TST. Le Chapitre VIII décrit en particulier le tétracorde sur G, disant que G en est le protus, A le deuterus, Bb le tritus et C le tetrardus.
Le passage cum tritus canitur, et tetrardus producendus est in proto dans la citation ci-dessus n'est pas clair. On ne voit pas bien quel(s) degré(s) est (sont) concerné(s) par producendus est: soit le tetrardus, avec la signification «lorsque l'on chante le tritus et qu'on doit monter au tetrardus», soit le protus, c'est-à-dire «lorsque l'on chante le tritus et le tetrardus et qu'on doit monter au protus». La difficulté vient du fait que le tetrardus est lui-même le protus du tétracorde qui suit lorsque les tétracordes sont conjoints. Laissons cette question pour le moment.
Un point à souligner est que le texte dit que «le diesis prend la place du demi-ton» (locum semitonii sumit):il ne le divise pas, il en prend la place.
Le texte continue:
«Alors le tritus, qui précède le tetrardus ou le protus, doit être un peu abaissé (subduci), abaissement (subductio) qu'on appelle diesis et [qui vaut] la moitié du demi-ton qui suit, de même que le demi-ton est la moitié du ton.» La mention, ici, du tetrardus ou du protus (tetrardo, protove) explique sans doute la phrase précédente, qui pourrait être lue et tetrardus producendus est vel in proto. Le point essentiel est que le diesis affecte toujours la troisième note, et seulement dans les cas où la mélodie monte par mouvement conjoint.
Cette phrase est suivie de celle déjà citée plusieurs fois et qui donne la mesure du diesis:
Mais ceci ne fait pas sens avec ce qui précède. Le texte avait dit d'abord que, dans le tétracorde sur G par exemple, G A Bb C, le tritus (Bb) doit être abaissé par un diesis (et de même dans les autres tétracordes). Mais la mesure décrite ensuite (6:7 depuis A) produit une note qui n'est pas un Bb abaissé, mais bien un B♮ haussé!
J'essaye de faire sens de tout ceci et de comprendre ce que dit ce texte. Je ne suis pas concerné par la théorie byzantine, ni par les mesures modernes de la seconde zalzalienne. Le fait est que nous avons ce texte (qui que ce soit qui l'ait écrit), qu'il devrait faire sens, et qu'il ne le fait pas tout à fait.
Je suggère comme une solution possible que lorsque le texte parle d'«abaisser» le tritus,il veut en réalité dire «hausser», et que la mesure 6:7 doit être prise du protus (par exemple G) et pas du deuterus. Le résultat serait un tétracorde de type TZZ (où Z désigne la seconde neutre), disons G A δ C ou D E δ G ou A B δ D, avec deux secondes neutres inégales -- ici plus proches de 5 et 4 tiers de demi-ton respectivement.
Je lirais volontiers d'autres hypothèses, mais je pense qu'elles doivent partir de ce texte, et de nulle part ailleurs.
L'intervalle 27/22, comme l'indique Nicolas Meeùs, est une tierce neutre qui peut se décomposer en ton + 2nde neutre de la façon suivante :
[27] 9/8 [24] 12/11 [22], évaluation en cents : [27] 204 [24] 151 [22]
Cette division ne se retrouve pas stricto sensu dans la division de Guido à cause du facteur premier 11 (du nombre 22) qui ne figure pas dans les nombres de celle-ci. Mais l'un ou l'autre intervalle de tierce neutre ou seconde neutre peut très bien exister de façon approchée dans la division de Guido entre deux degrés contigus ou non de l'échelle.
2. En remontant et reprenant les éléments de cet échange, je n'ai pas trouvé dans la division de Guido la seconde neutre, soit un intervalle de 150 cents environ (entre une seconde mineure et une seconde majeure). Et pas davantage de tierce neutre. Pouvez-vous éclaircir ce point ? J'ai lu, je le reconnais, un peu moins précisément la partie en anglais de l'échange.
3. Il n'est pas question de supposer une "filiation" entre précisément la division d'Archytas et celle de Guido. Mon idée était de suggérer une piste type "degrés de l'enharmonique". On trouve bien (on doit bien trouver...) dans le Moyen-Âge latin, et à la suite de Boèce, des divisions du monocorde qui donnent un placement des degrés spécifiques du chromatique et de l'enharmonique du système tétracordal grec (voir le Mensura Monochordi de Christian Meyer, que je n'ai malheureusement pas sous les yeux présentement).
Note 1 : les divisions d'Archytas données par Ptolémée sont reprises dans le livre V du De institutione musica de Boèce, et par là rendues visible de Guido.
Note 2 : il me revient le souvenir d'une analyse (moderne ?) donnant comme justification du rapport 28/27 pour la trite (pour ce cas d'espèce), la valeur 7/6 du rapport avec le degré de ton inférieur ( (9/8)*(28/27)=7/6 ). Je n'ai malheureusement plus la référence et je peux me tromper. Je regrette ce flou final.
Je promets de vous relire chacun avec plus de précision.
I see no reason to argue that the diesis paragraph or any other part of Guido's treatise Micrologus is corrupted (which seems to me anyway a matter of personal preferences). In that light every medieval copist simply did corruptions, just because they did not do exactly do what the others did. It is just the essence of a written transmission based on manuscripts (which continued until the 21th century with respect to chant books of Orthodox chant, despite of the introduction of printed books in 1814). The main problem of printed editions is that some musicians today are already so ignorant to believe that the published transcriptions into the New Method are the only possible way, while the great teacher or transcriptors understood that they were one possible realisation among many others...
There is no approximation to a Zalzalian tetrachord whatsoever, you obviously oversaw that you once referred to the leimma, when you called 28:27 two thirds of a leimma and 64:63 one third. The ringfinger fret of Zalzal is today defined as the soft diatonic tetrachord, it is not chromatic, and definitely not enharmonic. The reason is that even the minor tone is much larger with respect to the leimma. If you accept Chrysanthos' corrupted arythmetics as another approximation (precise: 9:8 x 12:11 x 88:81 = 4:3, approximation: 12 + 9 + 7), then the so-called "Pythagorean" division 9:8 x 9:8 x 256:243 becomes 12 + 12 + 4. It means I regard now the leimma 256:243 (90') as a "third" of the tonus 9:8 (204')! Chrysanthos corrupted another time and preferred 12 + 13 + 3, and this was supposed to be enharmonic according to the Byzantine theory. But in practice the interval was definitely intoned smaller, the only exception is Angelopoulos' choir whose school defined phthora nana as hard diatonic. I prefer to stay with proportions like Frédéric, but the soft diatonic minor tone is considerably larger than the leimma, otherwise you will always get lost very soon.
Nevertheless, the fact is that Guido did not care about the Boethian diagramme, but about the practice of chant. According to ancient Greek definition of genus it was anyway the same, the difference between diatonic, chromatic and enharmonic was simply defined by the smallest interval, the rest was not important. It means that any division was enharmonic, as soon as the smallest interval was already 28:27, definitely 64:63, which was Guido's diesis in fact (there is in practice no other one, although in theory there were two dieses).
According to his own definition, you might call him rather musicus than cantor, but the same sense for practice you will find among other authors of music treatises or notatores within the school of William of Volpiano. For Greeks that was never a problem. The one who taught and wrote harmonics treatises and the one who wrote chant manuals, did not the same metier, the former was a scientist and the latter a chanter with ranks between archikanonarchis (often young boys at least 12 years old) up to archon protopsaltis (usually an old man and a very experienced singer).
Sauf erreur de ma part, ce que Guido décrit, c'est une succession G [8:9] A [6:7] B2/3♯ :
On peut éventuellement admettre qu'il comprend dans cette série de notes ♮ et c, pour lesquels il ne propose pas de calcul. Mais il me semble extrêmement difficile de distinguer dans un tel résultat une approximation d'un tétracorde enharmonique grec, apparemment situé d'abord sur A B B2/3♯ C D et qu'il faudrait lire en fin de compte B B2/3♯ C D E parce que A serait pris «en sortant» du tétracorde.
Il me paraît plus simple de supposer que le texte est corrompu -- ce que semble avoir pensé Smits van Waesberghe en rejetant ce passage de son édition du Micrologus. Après, on en est malheureusement réduit aux hypothèses.
L'une d'entre elle est que Guido tente de décrire une autre version du tétracorde ajouté (celui qui correspond au synemmenon grec), G A B♭ C, une version obtenue en haussant B♭ d'une fraction de demi-ton pour obtenir deux secondes neutres au lieu d'une mineure et une majeure. Dans ce cas, la valeur 6:7 ne devrait pas se compter à partir de A, comme l'écrit le texte, mais bien à partir de G. On aurait donc G-A, 8:9 ; G-B½♭, 6:7 ; G-C, 3:4. Tous les rapports sont superparticuliers et assez simples, et le résultat serait une approximation du «tétracorde zalzalien» (c'est-à-dire une forme possible du tétracorde chromatique grec).
On pourrait objecter que sans doute Guido avait peu de connaissances des théories arabes; mais l'objection me semble valable aussi pour les théories grecques, dont il ne pouvait connaître que Boèce.
Cher Frédéric
Merci beaucoup pour votre calculation très précise !
Vous avez donné la preuve qu'il y a besoin d'une longue procédure pour arriver aux tetrachordes des harmonikai et éruire toutes les intervalles il faut pour établir le système des tetrachordes, comme ils étaient représenté dans le diagramme boécien.
Franchement je ne vois aucune ressemblance avec la division d'Archytas sauf que la dièse avec la proportion 28:27 était présent. C'est grace à cette pétite intervalle qu'on pouvait parler du genre enharmonique. Mais en fait, nos oreilles aujourd'hui ne comprennent plus la difference entre le ditonus (408') qui semble si près à la température égale (400'), et la tierce. C'est paradoxe (mais motivé du fait que le ditonus est toujours une intervalle difficile) que seulement la tierce majeure (386') est perceptible comme une intervalle pure, et par là la dièse 28:27 divise le ton mineur 16:15 dans un quart et les autres trois quarts.
J'avais parlé que la division chez Guido me semble assez dure et brulante, la division d'Archytas en fait n'est pas. Pourquoi Guido n'avait pas choisi la proportion 8:7 pour diviser le leimma ?
En fait, dans ces deux cas (l'alternation du tonus par la substitution avec 7:6 ou 8:7) il avait intégré également la tradition modale occidentale et sa chaîne des quints ascendants et des quarts déscendants (récemment découverte par Odo d'Arezzo), mais dans la même manière simple et pratique qui est aussi musicale.
Si vous pensez d'un tetrachorde ou hexachorde sur SOL, ça suffit pour arriver au tetrachorde entre SOL et DO. La division de la chorde neuf ou sept fois est encore simple et on trouve les autres positions facilement par l'octave et par le quart. Avec un ison sur RE ou LA c'est facile de trouver l'intonation juste par un musicien. En fait la même procédure du SOL se laisse répéter sur FA et le modèle est la mutation Guidonienne. On parle d'un conduit simple UT, RE, MI dièse, FA, et en fait, c'est l'harmonie dans le genre diatonique, mais avec une attraction modale qui correspond à la notation de Guillaume de Volpiano.
Le placement de ces trois diesis (la première entre ♮ et c, la deuxième entre e et f, la troisième entre ♮♮ et cc) donne pour moi une construction partielle des degrés du genre enharmonique :
- la première, placée entre ♮ et c, peut être, dans le genre enharmonique, une corde trite du tétracorde diezeugmenon (tétracorde entre ♮ et e),
- la deuxième, placée entre e et f, une corde trite du tétracorde hyperbolaion (tétracorde entre e et aa),
- la troisième, placée entre ♮♮ et cc, est la répétition de la première au registre supérieur (hors système tétracordal).
Il est logique alors de se demander avec Oliver Gerlach pourquoi Guido ne donne pas la construction de la diesis entre a et ♭ (du tétracorde synemmenon). Les diesis du registre inférieur (t. meson et t. hypaton) ne sont pas non plus mentionnées, elles peuvent être construites à partir des deux premières par un doublement de la longueur.
Guido semble bien en tout cas utiliser 'diesis' pour désigner le degré qu'il construit et non un intervalle.
2. Guido construit la diesis "en sortant" du tétracorde --> (a) mais on peut très bien calculer sa position "dans" le tétracorde --> (b).
(a) pour le tétracorde ♮-c-d-e par exemple (ou plutôt ♮-x-x-e en notant x les degrés mobiles) il construit la diesis δ1 entre ♮ et c en s'appuyant sur le a (de l'hexacorde G-a-♮-c-d-e) et en prenant 6/7 de la longueur de corde.
(b) sa définition des intervalles de l'enharmonique est donc :
[♮] 28/27 [δ1] 64/63 [c] 81/64 [e], évaluation en cents : [♮] 63 [δ1] 27 [c] 408 [e]. Et on constate en effet une très forte inégalité de la division du limma ♮-c.
- 28/27. De ♮ à a : 9/8 en longueur de corde, de a à δ1 : 6/7, d'où de ♮ à δ1 : 27/28 en longueur de corde
- 81/64. Le diton (9/8 * 9/8)
- 64/63. Le complément pour 4/3 (diatessaron)
Cette définition de l'enharmonique rappelle celle d'Archytas de Tarente donnée par Ptolémée dans les Harmoniques :
[♮] 28/27 [δ1] 36/35 [c] 5/4 [e], évaluation en cents : [♮] 63 [δ1] 49 [c] 386 [e].
L'intervalle inférieur du tétracorde chez Archytas est d'ailleurs 28/27 pour les trois genres, c'est une particularité de cet auteur.
3. Guido n'a probablement pas placé la diesis sur les mêmes considérations qu'Archytas en son temps pour la division du tétracorde. Néanmoins a-t-il pu hériter d'un placement de la diesis à 27/28 en longueur de corde (quelle qu'en soit l'origine) et la construire par une division de 6/7 de la corde à partir du ton inférieur ? Son propos était peut-être de rappeler le placement de ces degrés dans un système qui n'en avait sans doute plus l'usage (d'où la construction "fragmentaire"). Qu'en pensez-vous ?
The Lesser Perfect System also had chromatic and enharmonic divisions and needed many different intervals.
Guido unlike Engelbert uses diesis, when he talks about diesis (he never tried to translate the term in itself), and semitonium, when he talks about leimma. Engelbert on the other hand is much closer to the Greek terminology and their flexible use of hemitonon (that is why I wrote not to confuse leimma with diesis). Neither Guido nor Engelbert, as far as I know, offer any evidence for the soft diatonic division, it is just al-Farabi who defined the chordal proportion of the ring finger fret "Zalzal" as 22:27.
The only exception is an 11th-century compilation known as alia musica, one of the compiled tonaries speaks about an intonation AIANOEOEANE which is rubrified as autentus deuterus. Since he/she mentions a low and an intense intonation of that modal degree which is supposed to be the final, I believe the low intonation was not according to the Boethian diagramme, but meant as the tonal centre of the mode, while the diesis treated the same degree as mobile. There was a Byzantine influence, because AIA was the name of tetartos, it was not devteros, so E was indeed a mobile degree and as basis note meant as a kind of mesos tetartos (I mean there was no pentachord between E plagios and b kyrios as in devteros). I doubt that Greek singers would ever use a diesis on the modal degree of the base note, but we cannot know for sure! Certain Latin cantors obviously did...
In any case I would not go so far to suggest, that Guido's diesis contradicted the Boethian diagramme, he just made a precise interval definition for the enharmonic division. That's all!
The difference between theory and practice was, that the enharmonic diesis was sometimes used within the diatonic genus (we have so many concrete descriptions which offer enough evidence about this practice), so precisely as he described it a singer would intone the ditonus considerably higher, she/he would hardly intone the ditonus followed by the diesis and then continue to FA, although this division was supposed to be the enharmonic genus according to the theory. Guido like Engelbert were clearly talking about a microtonal attraction, the ab with ablative was clearly opposed to the direction, which is always expressed in Latin with the preposition ad and the accusative of direction.
If you divide a tetrachord by one tonus, the Zalzal proportion looks very weird, because the other intervals seem so different: the rest is divided into 12:11 and 88:81 (not 88:83!), but it was indeed nearly a symmetric division of the rest. With their methods you could make the comparison with arithmetics:
108 96 88 81
88
12 + 8 + 7
Chrysanthos did not like the sum of 27 for the fourth, because he wanted to divide it into four minor tones (instead of 5 halftones), so he corrupted the arithmetic number and changed it into 28, by adding one division more to the middle tone (12 + 9 + 7). Then there was a patriarchal synod in 1881 which defined (even more absurd) an equal tempered division into 12 + 10 + 8 (200' + 166' + 133' = 500'), but the original proportions known since al-Farabi meant that there was a very small difference between the middle and the minor tone...
Oliver, I can assure you that I have some knowledge of the Lesser Perfect System, and of ancient Greek theory in general.
Guido's ratio of 6:7 correponds to an interval of about 2,7 semitones (to be more precise would involve deciding which semitone, but that is not important here). He says that the diesis is built as follows:
G (8:9) A (6:7) B2/3♯ [... C?]
with B2/3♯ falling somewhere between B♮ and C (and "subductio" somehow meaning "sharpening by 2/3 semitone"). It leaves with only about 1/3 of a semitone between B2/3♯ and C, and I find it extremely puzzling. I don't understand the purpose (musical or other) of such a division.
The ratios I have for al-Farabi's Zalzalian division are not exactly yours, which seem incorrect because they do not totalize to a perfect fourth of 4:3. You wrote 88:83, but I think you meant 88:81. This would produce the following tetrachord, again starting from G (I use the ratios for the string lengths, as did al-Farabi and Guido, i.e. the reverse of those for frequencies, but this changes nothing):
G (8:9) A (11:12) B½♭ (81:88) C
Now we might assume that Guido's diesis (6:7, about 8 quartertones of 1/3 semitone, i.e. 16/6 of a semitone) is roughly the same as al-Farabi's neutral third (8:9 x 11:12 = 22/27, about 5 quartertones of 1/2 semitone each, i.e. 15/6 of a semitone). But the difference is that Guido builds it on A, while al-Farabi would have built in on G.
The question, to me, reduces to this: is Guido confusedly describing something similar to al-Farabi's Zalzalian division, or is he speaking of something entirely different?
Thank you for quoting Engelbert, and I assure you I rather prefer talking about proportions than about quartertones which is very imprecise indeed (and no ear can listen to such a geometric way of symmetrical subdivision), the surprise was just, that Guido's diesis is so spicy!
Since I was talking about a certain imprecision concerning the diesis, I do not think that Engelbert's Latin is so bad or simply a misunderstanding. You have just to look for the right context he mentioned subductio, many authors have a very refined concept talking about the triphonic system (also known as the Lesser Perfect System), but only a very few readers today understand, what they are really talking about, because they do not even know it.
As I said to use the term semitonium as a name for very different sizes of small intervals corresponds to the Greek use of talking about hemitona, rather than to the more specific use, when semitonium was chosen to translate leimma. I think apotome as the difference between tonus and leimma is very specific and it is indeed larger than the leimma, but what was cut away in Guido's case (the alteration) is the much larger part of the leimma with respect to the rest interval which Engelbert might have called diesis. Nevertheless, he translated diesis as a "subductio" which is connected to a larger hemitonon (there is the preposition "from", a with ablativus, but it could mean a larger interval in relation to the one of the diesis itself). It seems to me that his description is quite precise.
Concerning the Arabic treatise, al-Farabi described two diatonic tetrachord divisions and their transpositions on the 'Ud keyboard: the so-called "Pythagorean" and a softer one defined after the ring finger fret of Zalzal (a famous 'Ud player of Baghdad). If you prefer to think in tetrachords the resulting division would be 9:8 x 12:11 x 88:83. But as I said, I expect that the hard diatonic division probably already sounded close to an enharmonic division for Greek ears, it makes Guido's diesis even appear spicier, if not over-spiced...
Oliver, two points:
1) I have nothing against the idea in itself of considering hexachords instead of tetrachords. However, the third degree of the hexachord is mi (in solmization), while that of the tetrachord is fa. The question, then is whether Guido affects the diesis to mi or to fa.
2) Guido explicitly speaks of subductiones [in trito], quae dieses appellantur. There is no doubt that for him, and for Engelbert of Admont, "diesis" and "subductio" are synonyms, any ancient Greek conception notwithstanding.
Engelbert writes: tonus [...] dividitur in duas partes inaequales, scilicet in maiorem, quae vocatur Apotome, id est, superdivisa, et haec est semitonium maius; et in minorem quae vocatur diesis, id est, subductio a semitonio maiori; et haec est semitonium minus. It appears that for him, the diesis is the minor semitone, called subductio as the part of the tone that remains after the apotome has been taken. [This meaning of subductio, if I am not mistaken, would be a good translation of the Greek ἀποτομή, "what is cut away"; but never mind. This only shows the Latin misunderstanding of Greek terms.]
As you write, one would expect the diesis (the "quarter tone", it being understood that it is not exactly half a semitone) to be added to the semitone, to form a "neutral second" of three "quarter tones". This would be the case if the diesis was added to fa (i.e. to F or C), dividing the trihemitone E-G or B-D in two equal halves, E-F+-G and B-C+-D (where the + indicates the sharpening by a diesis, in this case a half sharp). Arabic theory does the same, but dividing the trihemitones D-F and A-C and lowering the note in between by a half flat.
For sure, the ratio 6:7 is a strange one, but why not? It produces an interval of about one tone and two thirds (267 cents), which might be described as "three quarter tones", a neutral second (considering once again that a quarter tone needs not be exactly half the semitone).After all, Al-Urmawi once described a neutral second formed by a semitone + a comma...
I am not puzzled by the irregular halves, but by the fact that Guido apparently does not use the diesis (or subductio) as a neutral second, but as further dividing the semitones B♮-C or E-F in quarter tones. Unless when he writes reperies primam diesim, inter ♮ and c, he means "between B♮ and C+", i.e. forming a neutral second between B♮ and C half-sharp. But that would mean measuring 6:7 from B, not A...
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